Cálculos preliminares

Sabe-se que a Covariância é relacionada à Correlação como

C o v (X_{i}, X_{i + 1}) = σ^{2} C orr (X_{i}, X_{i + 1}) = σ^{2} ρ

Lembrando também que ambas as operações são comutativas em seus argumentos ( $X_{i} \leftrightarrow X_{i + 1}$ ).

Item 0

O valor esperado da soma é sempre a soma dos valores esperados, independente da distribuição.

Pela definição de variância,

E [X_{i}^{2}] = Var (X_{i}) - E [X_{i}]^{2} = σ^{2} - μ^{2}

Portanto,

E [i \sum X_{i}^{2}] = i \sum E [X_{i}^{2}] = n (σ^{2} - μ^{2}) \neq = n σ^{2}

Pela definição de Covariância,

C o v (X_{i}, X_{i + 1}) = E [(X_{i} - μ) (X_{i + 1} - μ)] = E [X_{i} X_{i + 1}] - μ^{2}

Por hipótese, $C o v (X_{i}, X_{i + 1}) = ρ σ^{2}$ . Portanto,

E [X_{i} X_{i + 1}] = ρ σ^{2} + μ^{2} ⟹ i = 1 \sum n - 1 E [X_{i} X_{i + 1}] = (n - 1) (ρ σ^{2} + μ^{2})

$\overset{μ}{^} = \frac{X _{1} + X _{2}}{2}$ é um estimador (não enviesado inclusive) da média $μ$ .

Abrindo a fórmula da variância, temos

Var (\overset{μ}{^}) = E [(\frac{X _{1} + X _{2}}{2})^{2}] - μ^{2}

Através da covariância, temos

Var (\overset{μ}{^}) = \frac{1}{4} (E [X_{1}^{2} + X_{2}^{2}] + 2 E [X_{1} X_{2}]) - μ^{2} = \frac{1}{2} ((σ^{2} - μ^{2}) + ρ σ^{2} + μ^{2}) - μ^{2} = \frac{1}{2} (1 + σ^{2}) ρ - μ^{2}

O gabarito indica que o resultado é $\frac{1}{2} (1 + σ^{2}) ρ$ , mas não parece o caso…

Abrindo a fórmula de $\overset{σ}{^}^{2}$ , temos

\overset{σ}{^}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (X_{1}^{2} + X_{2}^{2}) - X_{1} X_{2})

Tomando o valor esperado, temos

E [\overset{σ}{^}^{2}] = \frac{1}{4} E [X_{1}^{2} + X_{2}^{2}] - \frac{1}{2} E [X_{1} X_{2}] = \frac{1}{2} (σ^{2} - μ^{2}) - \frac{1}{2} (ρ σ^{2} + μ^{2}) = \frac{1}{2} (1 - ρ) σ^{2} - \frac{μ ^{2}}{2} \neq = σ^{2}

Portanto, $\overset{σ}{^}^{2}$ não é um Estimador Não-Enviesado.