ANPEC Estatística 03 2020

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Questão sobre Distribuição Exponencial.

Item 0

$$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$$

Item 1

Já se sabe de cara que é falsa, pois o valor esperado de $X$ é $\frac{1}{\lambda }$ – ou seja, $\lambda$ possui unidade do inverso de $X$. Espera-se que $Var(X)\sim \frac{1}{{\lambda }^2}$.

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X^2]& ={\int }_0^{\infty }\lambda x^2\underset{\equiv du}{\underbrace{e^{-\lambda x}dx}}\\ & =-{\int }_0^{\infty }2x\underset{\equiv du}{\underbrace{e^{-\lambda x}dx}}\\ & =-\frac{2}{{\lambda }^2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda x}dx\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$

Logo,

$$Var(X)=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

Item 2

$$P(0\le X\le c)={\int }_0^c\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda c}$$

Portanto,

$$P(X>c)=e^{-\lambda c}$$

Item 3

Sabe-se que a distribuição exponencial (assim como a Distribuição Geométrica) é memoryless, não possui memória:

$$P(X>a+b\mid X>b)=P(X>a)$$

Portanto,

$$P(X>x\mid X>c)=P(X>(x-c))$$

Pelo item 2, temos

$$P(X>(x-c))=e^{-\lambda (x-c)}$$

Item 4

A distribuição acumulada de X até algum $x$ é dada por

$$F_X(x)={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda \tau }d\tau =1-e^{-\lambda x}$$

Não faço ideia do que o item quis dizer com a condicional de que $x>c$, pois a CDF é essa de cima… Inclusive, o que se pode afirmar é que

$$F_X(x)>F_X(c)=1-e^{-\lambda c}$$

A distribuição é monotônica, ela não se estagna após $c$ só porque $x>c$. Provavelmente essa era a pegadinha, bem desnecessária.

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References