Limite Inferior de Cramér-Rao

up:: 064 MOC Estatística em Economia

Dadas amostras i.i.d. obtida de uma distribuição de probabilidade que satisfaça algumas propriedades bem gerais¹, , então uma dada estatística

com média sendo uma função de

então temos que a variância dessa estatística possui lower bound

onde é a Informação de Fisher.

Demonstração

é função das variáveis aleatórias , portanto temos que sua média é

Derivando com relação a , temos, pela regra do produto²,

Note-se que o termo em parênteses é a soma das Log-Verossimilhanças; conforme demonstrado algures, temos que o valor esperado de será , e que a variância será igual a (Informação de Fisher).

Portanto, temos³

Isolando e sabendo que , temos que

onde este valor à direita é o limite inferior de Cramér-Rao.

Relação com estimadores eficientes

Podemos, portanto, definir um Estimador Eficiente: ele é um Estimador Não-Enviesado cuja variância é exatamente o limite inferior de Cramér-Rao (e não mais).

Para um estimador não-enviesado, em particular, temos que

Portanto, temos

---

References

• O Teorema de Rao-Cramér para Estimadores de Máxima Verossimilhança, Mariella Ananias Bogoni (2019)

2. possui mesmo conjunto de suporte para todos ;
3. O valor verdadeiro do parâmetro (chame-o de ) é ponto interior do intervalo em que ;
   4) A função probabilidade é duas vezes diferenciável sobre ;
   5) A integral pode ser duas vezes diferenciável sobre sob sinal da integral.

Footnotes

1. 1. Injetividade no tocante ao parâmetro : para ;
   ↩

2. . ↩

3. Cf Stack Exchange. ↩