ANPEC Estatística 15 2022

up:: 064a MOC ANPEC Estatística

Questão sobre Modelo Autorregressivo $AR(1)$.

Denote-se $\beta \equiv {\beta }_1$ e $\sigma \equiv {\sigma }_u$ por simplicidade.

Item 0: Verdadeiro

Abrindo a série para $t-2$, tem-se que

$$Y_t=u_t+\beta u_{t-1}+{\beta }^2{Y}_{t-2}$$

facilmente sendo generalizável por indução para $t\to \infty$:

$$Y_t=\sum _{j=0}^{\infty }{\beta }^j{u}_{t-j}$$

Item 1: Verdadeiro

Pela série acima, tomando o valor esperado (que é linear), temos

$$\mathbb{E}[Y_t]=0$$

Item 2: Falso

Pela série infinita acima, temos a série geométrica

$$Var(Y_t)={\sigma }^2\sum _{j=0}^{\infty }{\beta }^j=\frac{{\sigma }^2}{1-\beta }$$

Item 3: Verdadeiro

Eu deixaria em branco na prova. Imagino que tenha algo a ver com $Y_t$ ser uma soma infinita de variáveis aleatórias, algo com o Teorema do Limite Central.

Item 4: Falso

Como $\mathbb{E}[Y_t]=0$ para todo $t$, temos que

$$Cov(Y_{t-1,Y_{t-2}})=\mathbb{E}[Y_{t-1}{Y}_{t-2}]$$

Abrindo $Y_{t-1}$ e fazendo a multiplicação

$$\begin{array}{rl}Cov(Y_{t-1},Y_{t-2})& =\mathbb{E}[\beta Y_{t-2}^2+\text{cancelto}0u_{t-1}{Y}_{t-2}]\\ & =\beta Var(Y_{t-2})=\frac{\beta {\sigma }^2}{1-\beta }\end{array}$$

Referências

• Time Series: Autoregressive models AR, MA, ARMA, ARIMA (Mingda Zhang)