ANPEC Estatística 14 2021

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Questão sobre Modelo de Médias Móveis $\text{MA}(2)$:

$$X_t={\theta }_0{Y}_t+{\theta }_1{Y}_{t-1}+{\theta }_2{Y}_{t-2}$$

onde ${\theta }_0\equiv 1$ por definição.

[Desumano usar $Y_t$ para destacar ruídos brancos.]

Item 0: Verdadeiro

Trivial: linearidade do valor esperado de combinação linear de ruídos brancos.

Item 1: Falso

Como os ruídos são descorrelacionados, temos que a variância é a soma(-ish) das variâncias:

$$\begin{array}{rl}Var(X_t)& =\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{25}\right){\sigma }^2\\ & =\frac{100+25+4}{100}{\sigma }^2\\ & =1.29{\sigma }^2\end{array}$$

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Para os próximos itens, deve-se considerar que, para um modelo $\text{MA}(q)$, a covariância de termos com “gap” $k\le q$ corresponderá à soma dos termos ${\theta }_t{\theta }_{t+k}$, todos vezes a variância dos erros ${\sigma }^2$.

Item 2: Verdadeiro

Para um gap de $1$, temos que os seguintes termos sobram:

$${\theta }_0{\theta }_1,{\theta }_1{\theta }_2$$

Portanto, a covariância fica

$$\begin{array}{rl}Cov(X_t,X_{t-1})& =\left(1\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{5}\right){\sigma }^2\\ & =\frac{1}{2}\frac{4}{5}{\sigma }^2\\ & =\frac{2}{5}{\sigma }^2\\ & =0.4{\sigma }^2\end{array}$$

Item 3: Falso

Os termos que distam de $2$ são somente ${\theta }_0{\theta }_2$. Portanto,

$$Cov(X_t,X_{t-2})=-\frac{1}{5}{\sigma }^2$$

Item 4: Verdadeiro

Não há termos que se “entrecruzam” com um gap de $k\ge 3$. Portanto,

$$\forall k\ge 3:Cov(X_t,X_{t-k})=0$$

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References

• Time Series: Autoregressive models AR, MA, ARMA, ARIMA (Mingda Zhang)
• RPubs - Modelos de Médias Móveis (MA) (Hudson Chaves Costa)